Eles não estavam a tentar reinventar a geometria a partir do zero. Simplesmente colocaram uma pergunta com que poucos adultos já se davam ao trabalho: seria possível provar um dos teoremas mais famosos da História de uma forma totalmente nova, sem recorrer a séculos de atalhos herdados?
Um teorema com 2.000 anos encontra a Geração Z
O teorema de Pitágoras é uma das raras peças de matemática de que quase toda a gente se lembra da escola. Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados: a² + b² = c².
Esta relação está na base de tudo, desde a construção de casas até aos satélites GPS. Está também no coração da trigonometria, o ramo da matemática que trata de ângulos e triângulos.
Tradicionalmente, o teorema tem sido demonstrado de dezenas de maneiras: rearranjos geométricos, truques algébricos, até demonstrações com números complexos. Os manuais orgulham-se de listar “mais de 300 demonstrações”. Ainda assim, havia uma linha que muitos matemáticos consideravam proibida.
Uma crença antiga na matemática dizia que não se podia usar apenas trigonometria para provar o teorema de Pitágoras sem cair num raciocínio circular.
Essa regra não escrita foi precisamente o que duas adolescentes americanas, Ne’Kiya Jackson e Calcea Johnson, decidiram desafiar.
Quem são as adolescentes que estão a remodelar a geometria euclidiana?
Em 2022, Jackson e Johnson ainda eram alunas da St. Mary’s Academy, uma escola católica feminina em Nova Orleães. Trabalhando em grande parte fora do horário escolar e guiadas apenas por ferramentas ao nível do ensino secundário, começaram a explorar uma pergunta que aparece em fóruns avançados de matemática: será que o teorema de Pitágoras pode ser provado usando apenas trigonometria, sem o assumir discretamente logo à partida?
Passaram quatro anos neste problema. Enquanto as amigas estudavam para exames comuns, as duas adolescentes lutavam com identidades de ângulos e triângulos proporcionais, à procura de um caminho que não importasse secretamente o teorema que pretendiam demonstrar.
Uma prova trigonométrica que evita uma armadilha lógica
A dificuldade vem da forma como a trigonometria é normalmente ensinada. Na escola, seno e cosseno são definidos usando triângulos retângulos. Essas definições dependem, de forma implícita, do teorema de Pitágoras, que relaciona os lados desses triângulos.
Se definirmos seno e cosseno com triângulos retângulos que já assumem Pitágoras, e depois tentarmos “provar” Pitágoras usando seno e cosseno, estamos a entrar num ciclo.
Jackson e Johnson quebraram esse ciclo. A ideia delas foi construir a trigonometria a partir de factos geométricos mais primitivos, em vez de assentar logo no teorema de Pitágoras.
Construir trigonometria a partir do zero
Em vez de aceitarem a definição escolar habitual de seno e cosseno, começaram por geometria euclidiana básica:
- propriedades dos ângulos em triângulos e círculos
- semelhança de triângulos (mesmos ângulos, lados proporcionais)
- razões entre lados correspondentes
Com estes ingredientes, construíram cuidadosamente triângulos retângulos e outras figuras em que só eram permitidas relações angulares e proporções. A partir desta montagem geométrica, definiram funções trigonométricas como seno e cosseno enquanto razões derivadas dessas proporções, e não a partir de uma fórmula já ligada ao teorema de Pitágoras.
Uma vez estabelecidas essas funções, obtiveram uma identidade-chave familiar a qualquer estudante: sin²(x) + cos²(x) = 1. Esta equação, aparentemente simples, costuma sair diretamente de Pitágoras quando se desenha um triângulo dentro de um círculo. Jackson e Johnson mostraram que ela pode ser justificada usando apenas o seu enquadramento geométrico.
A partir daí, o resto seguiu-se. Manipulando essa identidade e as relações entre lados de triângulos semelhantes, conseguiram reconstruir a famosa equação a² + b² = c², sem a assumirem em nenhum momento.
Várias provas novas, não apenas uma
A dupla não se ficou por um único argumento elegante. No artigo que mais tarde apareceu na revista American Mathematical Monthly, apresentaram várias demonstrações distintas do teorema.
Uma das suas construções funciona até como um “gerador de provas”, produzindo outras cinco demonstrações trigonométricas do teorema de Pitágoras.
Para matemáticos profissionais, isto não é apenas um truque inteligente. Sugere toda uma família de formas de pensar a geometria clássica através de uma lente trigonométrica, ancorada em princípios elementares em vez de fórmulas herdadas.
De projeto escolar a palco nacional
Depois de anos de trabalho discreto, Jackson e Johnson apresentaram os resultados em março de 2023, no encontro anual da Mathematical Association of America (MAA), em Atlanta. O público dessas conferências está habituado a apresentações polidas de professores e doutorandos. Duas adolescentes de uma escola secundária de Nova Orleães, a explicar uma abordagem nova a um teorema antigo, destacaram-se.
Matemáticos que assistiram à sessão descreveram o trabalho como rigoroso e surpreendentemente maduro. Essa reação ajudou a empurrar a investigação para revisão por pares. Em poucos meses, o artigo foi aceite pela American Mathematical Monthly, uma revista antiga e respeitada que publica tanto resultados profundos como demonstrações curtas e elegantes.
| Ano | Marco |
|---|---|
| 2022 | Conclusão do projeto de prova trigonométrica enquanto alunas do ensino secundário |
| Março de 2023 | Apresentação na conferência anual da MAA em Atlanta |
| Final de 2023 | Publicação do trabalho na American Mathematical Monthly |
Quando os meios de comunicação pegaram na história, as duas matemáticas em formação já tinham avançado para a universidade. Johnson estuda agora Engenharia do Ambiente na Louisiana State University, enquanto Jackson segue Farmácia na Xavier University of Louisiana.
Porque é que os matemáticos se interessam por “mais uma” prova?
À primeira vista, provar Pitágoras outra vez pode parecer exibicionismo. Afinal, o teorema não está em causa, e já existem centenas de demonstrações. O interesse está na forma como um teorema é provado, e não apenas no facto de poder ser provado.
Uma prova baseada apenas em geometria elementar muitas vezes ilumina a estrutura do espaço. Uma prova algébrica liga geometria a equações. Uma prova trigonométrica, construída sem raciocínio circular, esclarece que pressupostos a trigonometria realmente exige.
Mudar a prova pode mudar a perspetiva, o que por sua vez pode sugerir novas ligações entre diferentes partes da matemática.
Por exemplo, fundamentos mais claros para a trigonometria podem influenciar métodos numéricos usados em engenharia ou computação gráfica, onde ângulos e distâncias têm de ser aproximados com extrema precisão. Em matemática pura, novos pontos de vista sobre teoremas clássicos por vezes conduzem a generalizações inesperadas.
Um sinal para os jovens de que a matemática não está “acabada”
Jackson e Johnson disseram que esperam que o seu trabalho funcione como mensagem para outros estudantes: resultados avançados não estão reservados a pessoas com décadas de experiência.
Atribuem o sucesso à persistência e curiosidade, mais do que a um génio inato. Anos a revisitar os mesmos diagramas, a questionar definições padrão e a verificar cada passo lógico acabaram por somar um resultado publicável.
A sua história contraria a ideia de que a matemática escolar é apenas um cânone fixo para memorizar, em vez de uma disciplina viva onde ainda surgem ideias novas.
Professores que já usaram a prova em sala de aula dizem que ela dá aos alunos uma narrativa concreta: duas adolescentes pegaram numa fórmula familiar do quadro e trataram-na como uma pergunta de investigação, em vez de uma resposta final.
O que isto pode significar para investigação e tecnologia futuras
O teorema de Pitágoras está na base da geometria euclidiana, que por sua vez sustenta vastas áreas da ciência e da tecnologia. Reconstruir uma parte desse alicerce com ferramentas diferentes pode ter vários efeitos em cadeia:
- Matemática pura: novas técnicas de demonstração por vezes adaptam-se a outros teoremas, levando a formulações alternativas ou argumentos mais simples.
- Matemática aplicada e engenharia: fundamentos trigonométricos mais claros podem alimentar algoritmos mais estáveis para navegação, robótica ou processamento de sinal.
- Inteligência artificial: muitos métodos de aprendizagem automática dependem de cálculos de distâncias e ângulos em espaços de alta dimensão; novos insights geométricos podem inspirar modelos mais eficientes.
Já houve investigadores a sugerir que construções trigonométricas deste tipo poderiam estender-se para além do espaço euclidiano plano, em direção a geometrias usadas na relatividade ou em análise avançada de dados.
Ideias-chave por trás da abordagem, explicadas de forma simples
Para leitores que não tocam em trigonometria desde a escola, há vários termos importantes aqui:
- Triângulo retângulo: triângulo com um ângulo de 90 graus.
- Hipotenusa: lado oposto a esse ângulo reto e o maior lado do triângulo.
- Função trigonométrica: regra como seno ou cosseno que liga um ângulo a uma razão entre lados num triângulo, ou a coordenadas num círculo.
- Semelhança: quando duas figuras têm os mesmos ângulos, pelo que os seus lados estão numa proporção fixa, mesmo que uma seja maior.
O passo decisivo de Jackson e Johnson foi começar apenas com semelhança e factos básicos sobre ângulos, e construir a trigonometria a partir daí. Com essa estrutura montada, conseguiram chegar ao teorema de Pitágoras por uma via nova.
Imaginar esta prova na sala de aula
Imagine uma aula do ensino secundário daqui a alguns anos. Em vez de apresentar Pitágoras como “esta é a regra, aqui está uma prova padrão”, um professor propõe um desafio inspirado no trabalho das adolescentes: não assuma nada sobre comprimentos dos lados num triângulo retângulo, apenas sobre ângulos e proporções. Consegue definir seno e cosseno e, depois, regressar à conhecida a² + b² = c²?
Os alunos poderiam construir diagramas passo a passo, testar conjeturas com software de geometria dinâmica e ver em primeira mão como nasce uma nova prova. Esse tipo de atividade transforma a matemática de uma lista estática de fórmulas num processo de refinamento gradual, em que até resultados há muito estabelecidos continuam abertos a raciocínios frescos.
Para muitos jovens, essa mudança de mentalidade pode ser o legado mais duradouro das duas estudantes de Nova Orleães: não apenas uma nova prova de um teorema antigo, mas um convite a tratar cada fórmula como uma oportunidade para perguntar: “Isto poderia ser mostrado de outra forma?”
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